Application de la méthode de Badal

Publié le 14 janvier 2007 par AnMaCha :0074:

1) Objectifs :

Chercher à déterminer la vergence de nos verres correcteurs (ceux de Marine et Charline).

Etablir une application pratique la méthode de Badal

2) Matériel :

Ban d’optique

Objet (ici la lettre " d ")

Source lumineuse

Lentille L₀ de vergence +10 dioptries

Lentille L₁ de vergence +5 dioptries

Ecran blanc

Supports pour lentilles

Salle faiblement éclairée

Différents verres de lunettes appelés Lx de vergence inconnue

3) Dispositif

Méthode de Badal : " Un objet source est placé au foyer objet d’une lentille convergente L₀ qui donne une image à l’infini. Une seconde lentille convergente L₁ de distance focale f1 donne de cette image une image réelle située dans son plan focale image. On note sur un banc d’optique, l’abscisse X₀ de ce plan. On place le sommet de la lentille Lx dont on désire déterminer la distance focale, au foyer objet de la lentille L₁. Lx donne de l’objet initial une image située dans son plan focal image. L₁ donne de cette image une image finale dans un plan situé d’abscisse X₁. "
On pose D = X₁-X₀. D est positif pour une lentille divergente pour une lentille convergente.

L’observation de nos verres nous permet de dire qu’ils sont tous les trois divergents : en effet, le bord est plus épais que le centre du verre. Nous sommes donc bien toutes les deux myopes. Donc D est positif.

Calcul de f₀C=1/f d’où f₀=1/C₀ = 1/10 = O,1O m = 10 cm

Calcul de f₁C= 1/f d’où f₁ = 1/C₁ = 1/5 = O,20 m = 20 cm

Cependant, lors de la réalisation de la détermination de la distance focale réelle de L₁, nous devons placer l’écran à 17 cm de L₁ pour que l’image soit nette. Par conséquent, f₁est égal à 17 centimètres en réalité (voir graphique, feuillet 1)

Montage sans Lx : (schéma 1)

Avec Lx : (Schéma 2)

A partir des informations connues, il faut trouver fx, le foyer objet de Lx afin d’en déduire la vergence Cx.

4) Formule de conjugaison de Newton

On sait que OF = f et que OF = -OF’ = -f ’

D’après ce schéma, on a donc ici d’après Thalès et la relation de conjugaison de Descartes

Dans les triangles FAB et FJO
γ = OJ/AB = FO/FA = -OF/FA = -f/FA

Dans les triangles F’OI et F’A’B’
γ = A’B’/OI = F’A’/F’O = F’A’/-OF’ = F’A’/-f ’

On obtient donc γ= -f/FA = FA’/-f ’ d’où l’égalité : FA×F’A’ = -f×-f ‘
FA×F’A’ = -f×-f '
FA×F’A’ = -f²

Nous avons ici trouvé la formule de conjugaison de Newton.

Dans notre cas, d’après le schéma 2, nous avons pour L₁

-f₁² = FA × F’A’

Ici on a FA = OxA = f’x (foyer objet irréel de Lx)
F’A’ = OA’-OF = X₁- X₀ = D
Par conséquent : fx = -f₁²/ D

5) Application numérique

cas numéro 1, le verre droit de Charline

On trouve les valeurs suivantes :
X₁ = 96,2 cm
X₀= 69,0 cm
D = X₁- X₀= 96,2-69,0 = 27,2 cm
fx = -f₀²/ D
fx = -17² / ( 96,2 – 69,0 )
fx = -289 / 27,2 = -1O,6 cm = -0,106 m

On peut en déduire la vergence du verre
C = 1/f = 1/ -O,106 = - 9,43 δ

On réalise les mêmes montages pour le verre gauche de Charline et l’on trouve exactement la même distance X₁ ! Charline a donc la même myopie aux deux yeux (résultat confirmé par une ordonnance ophtalmologique).